Дано:
- Трасса для картинга представляет собой кольцо с точкой А и дорожкой АВ.
- Время проезда от A до B составляет 1 минуту.
- Время проезда по кольцу от B обратно в B также составляет 1 минуту.
- Юный гонщик выезжает из точки A и должен вернуться в точку A через 10 минут, при этом может заезжать в A произвольное количество раз.
Найти:
- Общее количество маршрутов протяжённостью 10 минут.
Решение:
1. Обозначим количество времени, проведенного на кольце (в минутах), как x, а количество времени, проведенного на дорожке AВ, как y. Суммарное время равно 10 минут:
x + y = 10.
2. Время x, проведенное на кольце, должно быть чётным, так как гонщик должен вернуться в точку A (каждый полный круг на кольце занимает 1 минуту). Обозначим количество кругов, совершённых на кольце, как k:
x = 2k.
Следовательно, подставляем в уравнение:
2k + y = 10.
Тогда:
y = 10 - 2k.
3. Возможные значения k могут быть: 0, 1, 2, 3, 4 или 5 (так как y должно быть неотрицательным).
4. Подсчитаем количество маршрутов для каждого значения k:
- Для k = 0: y = 10. Все 10 минут на AВ. Один маршрут.
- Для k = 1: y = 8. За 1 минуту гонщик проехал 1 круг на кольце и 8 минут на AВ. Количество маршрутов: C(9, 1) = 9.
- Для k = 2: y = 6. За 2 минуты на кольце и 6 минут на AВ. Количество маршрутов: C(8, 2) = 28.
- Для k = 3: y = 4. За 3 минуты на кольце и 4 минуты на AВ. Количество маршрутов: C(7, 3) = 35.
- Для k = 4: y = 2. За 4 минуты на кольце и 2 минуты на AВ. Количество маршрутов: C(6, 4) = 15.
- Для k = 5: y = 0. За 5 минут на кольце. Один маршрут.
5. Подсчитаем общее количество маршрутов:
Общее количество маршрутов = 1 + 9 + 28 + 35 + 15 + 1 = 89.
Ответ:
Общее количество маршрутов протяжённостью 10 минут составляет 89.