Дано:
- Количество автомобилей n = 100.
- Каждый автомобиль имеет уникальную скорость, и обгонять нельзя.
Найти:
Математическое ожидание числа групп автомобилей.
Решение:
Обозначим случайную величину G как количество групп автомобилей. Группа формируется, когда автомобиль с более низкой скоростью движется за автомобилем с более высокой скоростью.
Каждый из 100 автомобилей, проезжая мимо, может быть либо лидером группы, либо следовать за другим автомобилем. Если предыдущий автомобиль едет быстрее, текущий будет частью этой группы.
На каждом этапе можно определить, является ли i-й автомобиль лидером группы. Автомобиль i считается лидером, если его скорость выше, чем у всех автомобилей, которые уже проехали. Вероятность того, что i-й автомобиль становится лидером равна 1/i, так как автомобили распределены случайным образом.
Таким образом, математическое ожидание числа групп можно выразить как сумму вероятностей того, что каждый i-й автомобиль является лидером:
E(G) = Σ (1 / i) (i от 1 до n).
Это сумма гармонического ряда, который можно оценить как:
E(G) ≈ ln(n) + γ,
где γ — константа Эйлера (примерно 0.577). Для n = 100:
E(G) ≈ ln(100) + 0.577 ≈ 4.605 + 0.577 ≈ 5.182.
Ответ:
Математическое ожидание числа получившихся групп равно примерно 5.182.