Дано:
Монету бросают 5 раз. Каждый бросок независим. Вероятность выпадения орла на каждом броске: p = 0.5. Вероятность выпадения решки: q = 1 - p = 0.5.
Найти:
а) Распределение индикатора события «Выпал орёл» для каждого броска.
б) Случайная величина S — «Число выпавших орлов» в терминах индикаторов.
Решение:
а) Обозначим индикатор события «Выпал орёл» для k-го броска как I_k.
I_k = 1, если на k-ом броске выпал орёл,
I_k = 0, если на k-ом броске выпала решка.
Распределение I_k:
P(I_k = 1) = p = 0.5,
P(I_k = 0) = q = 0.5.
Для каждого броска k = 1, 2, 3, 4, 5:
- I_1: P(I_1 = 1) = 0.5, P(I_1 = 0) = 0.5
- I_2: P(I_2 = 1) = 0.5, P(I_2 = 0) = 0.5
- I_3: P(I_3 = 1) = 0.5, P(I_3 = 0) = 0.5
- I_4: P(I_4 = 1) = 0.5, P(I_4 = 0) = 0.5
- I_5: P(I_5 = 1) = 0.5, P(I_5 = 0) = 0.5
б) Случайная величина S, равная числу выпавших орлов, может быть выражена через индикаторы:
S = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5.
Распределение S:
Поскольку каждая I_k является независимой и одинаково распределенной случайной величиной, S следует биномиальному распределению с параметрами n = 5 и p = 0.5.
Таким образом,
S ~ Binomial(n = 5, p = 0.5).
Ответ:
а) Для каждого I_k: P(I_k = 1) = 0.5, P(I_k = 0) = 0.5.
б) S = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 + I_5, S ~ Binomial(n = 5, p = 0.5).