Дано:
Муха начинает движение из точки (0, 0) и может двигаться только вправо или вверх по целочисленной сетке. Каждый раз в узле сетки муха с равной вероятностью (0.5) выбирает направление: либо вверх, либо вправо.
Найти:
Доказать, что с вероятностью 1 муха рано или поздно достигнет точки с абсциссой 2017.
Решение:
1. Обозначим событие A как "муха достигнет точки (2017, y) для любого y". Для того чтобы муха достигла этой точки, она должна сделать 2017 шагов вправо.
2. Муха может двигаться в любом направлении, и на каждом шаге у нее есть равные шансы выбрать вверх или вправо. Вероятность того, что муха сделает x шагов вправо и y шагов вверх за n шагов в целом равна:
P(x, y) = C(n, x) * (0.5)^n, где C(n, x) — биномиальный коэффициент, равный n! / (x! * (n - x)!).
3. Чтобы достичь абсциссы 2017, муха должна сделать не менее 2017 шагов вправо. Необходимо, чтобы общее количество шагов n было не меньше 2017. При этом количество шагов вверх может быть любым, включая 0.
4. Рассмотрим последовательность шагов. Вероятность того, что муха сделает ровно 2017 шагов вправо из n шагов, где n ≥ 2017, можно записать как:
P(2017 вправо | n шагов) = C(n, 2017) * (0.5)^n.
5. Теперь необходимо суммировать вероятности для всех возможных n, начиная с 2017:
P(достичь (2017, y)) = Σ (C(n, 2017) * (0.5)^n), где n = 2017, 2018, 2019, ...
6. По свойствам биномиального распределения можно показать, что:
Σ (C(n, k) * p^n) для k фиксированного и p = 0.5, когда n стремится к бесконечности, сходится к 1.
7. Это значит, что вероятность достижения точки (2017, y) для любого y, при n → ∞, равна 1.
Ответ: С вероятностью 1 муха рано или поздно достигнет точки с абсциссой 2017.