Дано:
Событие A: «Выпадение орла при подбрасывании монеты».
Событие B: «Выбор карты из колоды с красной мастью».
Событие C: «Случайное число меньше 0,5».
Событие D: «Случайное значение температуры выше 25 градусов».
Найти:
Проверить независимость событий попарно и в совокупности.
Решение:
1. Определим вероятности событий:
P(A) = 0,5 (орел или решка)
P(B) = 0,5 (красная или черная карта)
P(C) = 0,5 (число меньше или больше 0,5)
P(D) = 0,5 (температура выше или ниже 25 градусов)
2. Проверим попарную независимость:
Для независимости событий A и B:
P(A и B) = P(A) * P(B)
Предположим, P(A и B) = 0,25.
P(A) * P(B) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События A и B независимы.
Для независимости событий A и C:
P(A и C) = P(A) * P(C)
Предположим, P(A и C) = 0,25.
P(A) * P(C) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События A и C независимы.
Для независимости событий A и D:
P(A и D) = P(A) * P(D)
Предположим, P(A и D) = 0,25.
P(A) * P(D) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События A и D независимы.
Для независимости событий B и C:
P(B и C) = P(B) * P(C)
Предположим, P(B и C) = 0,25.
P(B) * P(C) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События B и C независимы.
Для независимости событий B и D:
P(B и D) = P(B) * P(D)
Предположим, P(B и D) = 0,25.
P(B) * P(D) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События B и D независимы.
Для независимости событий C и D:
P(C и D) = P(C) * P(D)
Предположим, P(C и D) = 0,25.
P(C) * P(D) = 0,5 * 0,5 = 0,25.
События C и D независимы.
3. Теперь проверим совместную независимость всех четырех событий:
P(A и B и C и D) = P(A) * P(B) * P(C) * P(D)
P(A и B и C и D) = 0,5 * 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,0625.
Однако, если мы будем учитывать конкретные значения, например, если все события произойдут одновременно (например, по результатам наблюдений или экспериментов), P(A и B и C и D) может быть значительно выше или ниже 0,0625.
Ответ: События A, B, C и D независимы попарно, но не в совокупности.