Question

Перед открытием ярмарки у первого крестьянина было 100 рублей, а у второго крестьянина — 200 рублей. Через некоторое время у каждого из них осталось некоторое количество денег, и тут крестьяне встретили цыгана, который предложил им игру на все деньги: если в этот момент у первого крестьянина больше денег, чем у второго, то первый выигрывает. Если у второго крестьянина денег больше, чем два раза по столько, сколько есть у первого, то выигрывает второй. Во всех иных случаях выигрывает цыган. Какова вероятность выигрыша цыгана? Предполагается, что крестьяне тратят деньги так, что в момент появления цыгана у каждого из них с равными шансами может остаться любая возможная сумма.

Answer 1

Дано:  
- У первого крестьянина (К1) было 100 рублей.  
- У второго крестьянина (К2) было 200 рублей.  
- Пусть у К1 осталось x рублей, а у К2 осталось y рублей.  
- x и y могут принимать значения от 0 до 100 и от 0 до 200 соответственно.

Найти:  
Вероятность выигрыша цыгана.

Решение:  
1. Определим условия выигрыша:
   - Первый крестьянин выигрывает, если x > y.
   - Второй крестьянин выигрывает, если y > 2x.
   - В противном случае выигрывает цыган.

2. Проанализируем области выигрыша:
   - Область 1 (выигрыш К1): x > y.
   - Область 2 (выигрыш К2): y > 2x.
   - Область 3 (выигрыш цыгана): не выполняются условия 1 и 2.

3. Построим координатную плоскость, где по оси x отложим деньги К1 (от 0 до 100), а по оси y — деньги К2 (от 0 до 200). Мы рассматриваем прямоугольник с вершинами (0, 0), (100, 0), (100, 200), (0, 200).

4. Определим границы областей:
   - Прямая y = x (граница для выигрыша К1).
   - Прямая y = 2x (граница для выигрыша К2).

5. Найдем точки пересечения:
   - Прямая y = x и прямая y = 2x пересекаются в точке (0, 0) и (100, 200).
   - Поскольку y не может превышать 200, точка (100, 200) не входит в область решения.

6. Рассмотрим треугольник, образованный точками:
   - A(0, 0) — пересечение осей.
   - B(100, 100) — точка пересечения y = x.
   - C(100, 200) — ограничение по y.

7. Найдем площади областей:
   - Площадь всего прямоугольника S = 100 * 200 = 20000.
   - Площадь области, где выигрывает К1: треугольник A(0, 0), B(100, 100), C(100, 200).
     Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 100 * 100 = 5000.

   - Площадь области, где выигрывает К2: треугольник B(100, 100), C(100, 200), D(0, 200).
     Площадь = 0.5 * основание * высота = 0.5 * 100 * 100 = 5000.

8. Теперь найдем площадь области выигрыша цыгана:
   Площадь выигрыша цыгана = Общая площадь - Площадь выигрыша К1 - Площадь выигрыша К2.
   S(цыган) = 20000 - 5000 - 5000 = 10000.

9. Вероятность выигрыша цыгана:
   P(цыган) = Площадь выигрыша цыгана / Общая площадь = 10000 / 20000 = 0.5.

Ответ:  
Вероятность выигрыша цыгана равна 0.5.