дано: Вероятность рождения девочки p = 0,435. Общее количество новорождённых n = 3000.
найти: вероятность того, что доля девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от 0,485 менее чем на заданные величины (0,1; 0,05; 0,02; 0,01).
Решение:
Пусть X - число девочек среди 3000 новорождённых. X распределена по биномиальному закону с параметрами n и p:
X ~ Binomial(n, p).
Для больших n можно использовать нормальное приближение:
X ≈ N(np, np(1-p)).
Находим параметры нормального распределения:
np = 3000 * 0,435 = 1305,
поскольку q = 1 - p = 0,565,
np(1 - p) = 3000 * 0,435 * 0,565 ≈ 3000 * 0,245225 = 735,675.
Таким образом, X приближенно распределена как:
X ≈ N(1305, sqrt(735,675)).
Теперь вычислим стандартное отклонение:
sigma = sqrt(735,675) ≈ 27,14.
Найдём границы для каждой из случаев:
а) Для отличия меньше 0,1:
|доля девочек - 0,485| < 0,1, то есть
0,385 < доля девочек < 0,585.
Переведем в число девочек:
0,385 * 3000 < X < 0,585 * 3000,
1155 < X < 1755.
Теперь найдём Z-значения:
Z1 = (1155 - 1305) / 27,14 ≈ -5,51,
Z2 = (1755 - 1305) / 27,14 ≈ 16,50.
Смотрим по таблице нормального распределения:
P(Z < -5,51) ≈ 0,
P(Z < 16,50) ≈ 1.
Следовательно, P(-5,51 < Z < 16,50) ≈ 1.
б) Для отличия меньше 0,05:
|доля девочек - 0,485| < 0,05, то есть
0,435 < доля девочек < 0,535.
Переведем в число девочек:
0,435 * 3000 < X < 0,535 * 3000,
1305 < X < 1605.
Находим Z-значения:
Z1 = (1305 - 1305) / 27,14 = 0,
Z2 = (1605 - 1305) / 27,14 ≈ 11,04.
Смотрим по таблице нормального распределения:
P(Z < 0) = 0,5,
P(Z < 11,04) ≈ 1.
Следовательно, P(0 < Z < 11,04) ≈ 0,5.
в) Для отличия меньше 0,02:
|доля девочек - 0,485| < 0,02, то есть
0,465 < доля девочек < 0,505.
Переведем в число девочек:
0,465 * 3000 < X < 0,505 * 3000,
1395 < X < 1515.
Находим Z-значения:
Z1 = (1395 - 1305) / 27,14 ≈ 3,32,
Z2 = (1515 - 1305) / 27,14 ≈ 7,71.
Смотрим по таблице нормального распределения:
P(Z < 3,32) ≈ 0,9996,
P(Z < 7,71) ≈ 1.
Следовательно, P(3,32 < Z < 7,71) ≈ 0,0004.