Дано:
- Испытания Бернулли проводятся до первого успеха.
- Вероятность успеха в каждом испытании равна p.
- Вероятность неудачи в каждом испытании равна q = 1 - p.
Найти:
- Какое значение случайной величины I более вероятно: I = 0 (первый успех на нечётном испытании) или I = 1 (первый успех на чётном испытании).
Решение:
1. Вероятность того, что первый успех произойдёт на k-ом испытании равна:
P(X = k) = q^(k-1) * p,
где q = 1 - p — вероятность неудачи в каждом испытании.
2. Рассмотрим два случая:
- Для I = 0 (первый успех на нечётном испытании):
Успех может произойти на 1, 3, 5, ... испытаниях.
Вероятность первого успеха на нечётных испытаниях:
P(I = 0) = P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5) + ...
= p + q^2 * p + q^4 * p + ...
= p * (1 + q^2 + q^4 + ...)
Это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем q^2:
Сумма геометрической прогрессии = 1 / (1 - q^2) = 1 / (1 - (1 - p)^2).
- Для I = 1 (первый успех на чётном испытании):
Успех может произойти на 2, 4, 6, ... испытаниях.
Вероятность первого успеха на чётных испытаниях:
P(I = 1) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) + ...
= q * p + q^3 * p + q^5 * p + ...
= p * (q + q^3 + q^5 + ...)
Сумма геометрической прогрессии с первым членом q и знаменателем q^2:
= q / (1 - q^2) = q / (1 - (1 - p)^2).
3. Теперь сравним вероятности:
P(I = 0) = p / (1 - (1 - p)^2)
P(I = 1) = q / (1 - (1 - p)^2)
Для сравнения P(I = 0) и P(I = 1) необходимо сравнить p и q:
- Если p > q, то P(I = 0) > P(I = 1) (более вероятен успех на нечётных испытаниях).
- Если q > p, то P(I = 1) > P(I = 0) (более вероятен успех на чётных испытаниях).
Ответ:
Вероятность первого успеха на нечётных испытаниях больше, если p > 0.5, и вероятность первого успеха на чётных испытаниях больше, если p < 0.5. Если p = 0.5, вероятности равны.