Дано:
Четверо учеников: A, B, C, D.
Общее количество работ: 4.
Найти:
Вероятность того, что хотя бы одному ученику вернётся его собственная работа.
Решение:
1. Общее количество возможных распределений работ (перестановок) для 4 работ: 4! = 24.
2. Для решения задачи найдем количество распределений, в которых ни один из учеников не получит свою работу. Это называется "счет дерangements" (отказ от самовозврата). Обозначим D(n) как количество дерangements для n объектов.
Формула для вычисления D(n) выглядит следующим образом:
D(n) = n! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n/n!)
Для n = 4:
D(4) = 4! * (1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4!)
= 24 * (1 - 1 + 0.5 - 0.1667 + 0.0417)
= 24 * (0.375)
= 9.
3. Вероятность того, что ни один из учеников не получит свою работу:
P(ни один) = D(4) / 4! = 9 / 24 = 3 / 8.
4. Вероятность того, что хотя бы одному ученику вернётся его собственная работа:
P(хотя бы один) = 1 - P(ни один) = 1 - 3/8 = 5/8.
Ответ:
Вероятность того, что хотя бы одному ученику попадётся его собственная работа, составляет 5/8.