Дано:
- Частица начинает движение из точки 0.
- Вероятность шага вправо (в точку 1) p = 0,8.
- Вероятность шага влево (в точку -1) q = 0,2.
Найти:
Вероятность того, что рано или поздно частица попадет в точку -1.
Решение:
1. Обозначим P как вероятность того, что частица когда-либо достигнет точки -1, начиная с точки 0.
2. Вероятность P можно выразить через вероятности шагов:
- Если частица делает первый шаг вправо (с вероятностью p), то она попадает в точку 1 и оттуда должна будет достичь точки -1. Обозначим вероятность достижения -1 из точки 1 как P_1.
- Если частица делает первый шаг влево (с вероятностью q), то она сразу попадает в точку -1, и достигает ее с вероятностью 1.
3. У нас есть следующее уравнение для P:
P = p * P_1 + q * 1.
4. Теперь найдем P_1:
- Из точки 1 частица может снова сделать шаг вправо (вернуться в точку 2) или шаг влево (вернуться в точку 0):
- Поэтому вероятность P_1 можно выразить так:
P_1 = p * P_2 + q * P,
где P_2 — это вероятность попасть в -1, находясь в точке 2.
5. Однако, заметим, что если рассматривать процесс бесконечно, то все вероятности в конечном итоге сводятся к тому, что частица продолжает двигаться, пока не достигнет -1. Поэтому, в общем случае для случайного блуждания на бесконечной прямой, вероятность возвращения в -1 будет зависеть только от соотношения p и q.
6. Для данной задачи, если p > q (что верно, так как 0,8 > 0,2), вероятность того, что частица достигнет точки -1, равна 0. Это связано с тем, что при несимметричном блуждании (где вероятность движения вправо выше, чем влево) частица в конечном итоге будет стремиться уходить вправо.
7. Таким образом, используя закон о марковских цепях и свойства случайных блужданий, мы можем заключить, что:
Вероятность P = 0.
Ответ:
Вероятность того, что рано или поздно частица попадёт в точку -1, равна 0.