Дано:
- Общее количество орехов: n = 7
- Вероятность, что орех будет пустым: p_empty = 0.4
- Вероятность, что орех будет полным: p_full = 1 - p_empty = 0.6
Найти:
Вероятность того, что у вас по крайней мере 3 полных ореха.
Решение:
Для нахождения этой вероятности удобнее всего воспользоваться законом распределения Бернулли (биномиальное распределение). Нам нужно найти вероятность того, что количество полных орехов (k) равно 3, 4, 5, 6 или 7.
P(k >= 3) = P(k = 3) + P(k = 4) + P(k = 5) + P(k = 6) + P(k = 7)
Используем формулу биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p_full^k * p_empty^(n-k)
Теперь вычислим каждую из вероятностей:
1. Для k = 3:
C(7, 3) = 7! / (3! * (7 - 3)!) = 35
P(X = 3) = 35 * (0.6)^3 * (0.4)^4 = 35 * 0.216 * 0.0256 ≈ 0.1911
2. Для k = 4:
C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 35
P(X = 4) = 35 * (0.6)^4 * (0.4)^3 = 35 * 0.1296 * 0.064 ≈ 0.2835
3. Для k = 5:
C(7, 5) = 7! / (5! * (7 - 5)!) = 21
P(X = 5) = 21 * (0.6)^5 * (0.4)^2 = 21 * 0.07776 * 0.16 ≈ 0.0495
4. Для k = 6:
C(7, 6) = 7! / (6! * (7 - 6)!) = 7
P(X = 6) = 7 * (0.6)^6 * (0.4)^1 = 7 * 0.046656 * 0.4 ≈ 0.1305
5. Для k = 7:
C(7, 7) = 1
P(X = 7) = 1 * (0.6)^7 * (0.4)^0 = 1 * 0.0279936 * 1 ≈ 0.0279936
Теперь сложим все полученные вероятности:
P(k >= 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)
≈ 0.1911 + 0.2835 + 0.0495 + 0.1305 + 0.0279936 ≈ 0.6826
Ответ:
Вероятность того, что у вас по крайней мере 3 полных ореха, примерно равна 0.6826.