Дано:
16 команд, которые делятся на 4 равные группы по 4 команды.
Необходимо определить вероятность того, что «ЦСКА» и «Спартак» окажутся:
1) в одной группе;
2) в разных группах.
Найти:
Вероятности для двух случаев.
Решение:
Общее количество способов, которыми можно разделить 16 команд на 4 группы по 4 команды, рассчитывается по формуле:
C(16, 4) * C(12, 4) * C(8, 4) / 4!,
где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который обозначает количество способов выбрать k элементов из n.
Сначала посчитаем общее количество способов разбиения на группы:
C(16, 4) = 16! / (4! * (16 - 4)!) = 16! / (4! * 12!) = 1820,
C(12, 4) = 12! / (4! * (12 - 4)!) = 12! / (4! * 8!) = 495,
C(8, 4) = 8! / (4! * (8 - 4)!) = 8! / (4! * 4!) = 70.
Теперь подставим значения в формулу:
Общее количество способов = 1820 * 495 * 70 / 24 = 4984200.
Теперь найдем количество способов, при которых «ЦСКА» и «Спартак» оказываются в одной группе.
Если «ЦСКА» и «Спартак» находятся в одной группе, то остается выбрать 2 команды из оставшихся 14 для заполнения этой группы. После этого нужно разбить оставшиеся 12 команд на 3 группы по 4 команды каждая.
Количество способов будет равно:
C(14, 2) * C(12, 4) * C(8, 4) / 3!,
где C(14, 2) = 14! / (2! * (12)!) = 91.
Теперь подставим значения в формулу:
Количество способов, где «ЦСКА» и «Спартак» в одной группе = 91 * 495 * 70 / 6 = 66315.
Теперь найдем вероятность того, что «ЦСКА» и «Спартак» окажутся в одной группе:
P(в одной группе) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 66315 / 4984200.
Теперь посчитаем вероятность, округляя:
P(в одной группе) ≈ 0.0133.
Теперь найдем вероятность, что «ЦСКА» и «Спартак» окажутся в разных группах.
Количество способов, при которых «ЦСКА» и «Спартак» в разных группах, определяется следующим образом. Сначала выбираем группу для «ЦСКА» (4 варианта), затем для «Спартака» выбираем одну из оставшихся 3 групп, а затем разбиваем оставшиеся 14 команд на 3 группы по 4 команды.
Количество способов будет равно:
4 * 3 * C(14, 4) * C(10, 4) * C(6, 4) / 3!.
Поскольку C(14, 4) = 1001, C(10, 4) = 210, C(6, 4) = 15, подставляем значения:
Количество способов, где «ЦСКА» и «Спартак» в разных группах = 4 * 3 * 1001 * 210 * 15 / 6 = 1261260.
Теперь найдем вероятность того, что «ЦСКА» и «Спартак» окажутся в разных группах:
P(в разных группах) = количество благоприятных исходов / общее количество способов = 1261260 / 4984200.
Теперь посчитаем вероятность, округляя:
P(в разных группах) ≈ 0.2532.
Ответ:
P(в одной группе) ≈ 0.0133;
P(в разных группах) ≈ 0.2532.