Дано:
Пусть G = (V, E) - мультиграф, в котором степени всех вершин чётные. Обозначим вершины графа как v1, v2, ..., vn. Степень вершины vi обозначается как d(vi).
Найти:
Необходимо доказать, что в мультиграфе G существует эйлеров цикл.
Решение:
1. Эйлеров цикл - это цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз и возвращается в начальную вершину.
2. По условию все степени вершин графа являются чётными, то есть для любой вершины vi выполняется д(vi) четное.
3. В графе, где все вершины имеют чётные степени, каждая вершина имеет одинаковое количество входящих и исходящих рёбер. Это указывает на то, что при обходе по рёбрам графа мы можем зайти в любую вершину и выйти из неё, не исчерпывая рёбра, выходящие из этой вершины.
4. Для построения эйлерова цикла можно использовать следующий алгоритм:
- Начнем с произвольной вершины v и будем следовать по рёбрам, выбирая неиспользованные рёбра, пока не вернёмся обратно в v.
- Если в процессе обхода остались неиспользованные рёбра, выберем одну из вершин, где остались неиспользованные рёбра, и повторим процесс.
5. Поскольку все степени вершин чётные, это гарантирует, что при каждом переходе между вершинами мы всегда можем найти доступное ребро, которое ещё не использовалось. Таким образом, мы сможем пройти через все рёбра графа, не застревая на каких-либо вершинах.
6. Этот процесс будет продолжаться, пока мы не пройдём через все рёбра, что и приводит к созданию эйлерова цикла.
Ответ:
Если степени всех вершин мультиграфа чётные, то в нём есть эйлеров цикл.