дано:
- емкость первого конденсатора C
- емкость второго конденсатора 3C
- изменение частоты Δf = 300 Гц
найти:
- первоначальную частоту колебаний f1.
решение:
1. Частота колебаний в LC-контуре определяется формулой:
f = 1 / (2 * π * sqrt(L * C_eff))
где L - индуктивность катушки, C_eff - эквивалентная емкость.
2. Для двух конденсаторов, соединенных параллельно, эквивалентная емкость будет:
C_eff_new = C + 3C = 4C
3. Первоначальная частота колебаний:
f1 = 1 / (2 * π * sqrt(L * C))
4. Новая частота колебаний после добавления конденсатора:
f2 = 1 / (2 * π * sqrt(L * 4C))
5. Найдем разность частот:
Δf = f1 - f2
6. Подставим выражения для частот:
Δf = (1 / (2 * π * sqrt(L * C))) - (1 / (2 * π * sqrt(L * 4C)))
7. Упростим разность:
Δf = (1 / (2 * π * sqrt(L * C))) - (1 / (4 * π * sqrt(L * C)))
Δf = (2 - 1) / (4 * π * sqrt(L * C))
Δf = 1 / (4 * π * sqrt(L * C))
8. Теперь подставим известное значение изменения частоты:
300 = 1 / (4 * π * sqrt(L * C))
9. Выразим первоначальную частоту f1:
f1 = Δf + f2
Но мы можем выразить f2 через C:
f2 = 1 / (2 * π * sqrt(L * 4C)) = 1 / (4 * π * sqrt(L * C))
10. Таким образом:
f1 = 300 + (1 / (4 * π * sqrt(L * C)))
11. Из уравнения 300 = 1 / (4 * π * sqrt(L * C)) можно выразить sqrt(L * C):
sqrt(L * C) = 1 / (4 * π * 300)
sqrt(L * C) = 1 / (1200 * π)
12. Теперь подставим это значение обратно в уравнение для f1:
f1 = 300 + (1 / (4 * π * (1 / (1200 * π))))
f1 = 300 + 300
f1 = 600 Гц
ответ:
Первоначальная частота колебаний составила 600 Гц.