Дано:
- радиус Земли R = 6400 км = 6400 * 10^3 м
- ускорение свободного падения на поверхности Земли g = 10 м/с^2
Найти:
- период колебаний тела T
Решение:
1. Для начала, определим силу тяжести, действующую на тело на глубине d. По предположению, что плотность Земли равномерная, сила тяжести на глубине d определяется как:
g_d = g * (1 - d/R)
где d — глубина.
2. Период колебаний T можно найти, используя закон Гука для простых гармонических колебаний:
T = 2 * pi * sqrt(m/k)
где m — масса тела, k — жесткость. Однако, для колебаний под действием силы тяжести можно воспользоваться другой формулой, которая зависит от ускорения свободного падения в центре тоннеля.
3. Если тело опускается в тоннель и колеблется, то максимальная скорость и амплитуда определяются ускорением g на поверхности, поскольку с увеличением глубины ускорение уменьшается, а в центре тоннеля g будет равно нулю.
4. Период колебаний T можно также найти через длину вектора ускорения. С учетом окружности и силы, действующей на тело, мы можем выразить его как:
T = 2 * pi * sqrt(R/g)
5. Подставим значения:
g = 10 м/с^2
R = 6400 * 10^3 м
T = 2 * pi * sqrt(6400 * 10^3 / 10)
6. Рассчитаем:
T = 2 * pi * sqrt(64000000)
T = 2 * pi * 8000
T ≈ 50265.48
Ответ:
Период колебаний тела T ≈ 50265.48 с (или около 14 часов).