Дано:
Период колебаний T = 5 с.
Плотность древесины ρ_д ≈ 600 кг/м³ (приблизительное значение для древесины).
Плотность воды ρ_в = 1000 кг/м³.
Ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².
Найти:
Длину бревна L.
Решение:
1. Для колебаний бревна в воде, период колебаний можно выразить через длину погруженной части. Поскольку бревно плавает, оно будет колебаться как система, состоящая из силы тяжести и силы Архимеда.
2. Формула для периода колебаний бревна, погруженного в воду, имеет вид:
T = 2 * π * sqrt(m / (V * ρ_в * g)),
где m - масса бревна, V - объем бревна, погруженного в воду.
3. Масса бревна m можно выразить через его объем V и плотность древесины ρ_д:
m = V_д * ρ_д,
где V_д = S * L, S - площадь сечения бревна, L - длина бревна.
4. Объем V погруженной части бревна можно выразить как:
V = S * h,
где h - длина погруженной части бревна.
5. Из равновесия сил, учитывая, что над водой находится незначительная часть, имеем:
ρ_в * V = ρ_д * V_д.
Это позволяет выразить h через L:
h = (ρ_д / ρ_в) * L.
6. Подставим h в уравнение для T:
T = 2 * π * sqrt((ρ_д * S * L) / (S * (ρ_д / ρ_в) * L * g)).
Сократим S и L:
T = 2 * π * sqrt((ρ_д * ρ_в) / g).
7. Перепишем формулу для длины бревна:
L = (T^2 * g) / (4 * π^2) * (ρ_в / ρ_д).
8. Подставим известные значения в формулу:
L = (5^2 * 9,81) / (4 * (3,14^2)) * (1000 / 600).
9. Вычислим:
L = (25 * 9,81) / (4 * 9,86) * (1000 / 600).
L ≈ (245,25) / (39,44) * (1,6667).
L ≈ 6,22 м.
Ответ:
Длина бревна составляет примерно 6,22 метра.