Дано:
Длина маятника L = 1 м
Максимальная скорость Vmax = 0,8 м/с
cos(θ) = 0,986
Найти:
Скорость груза V в момент, когда cos(θ) = 0,986.
Решение:
1. Находим максимальную потенциальную энергию (Epmax) и максимальную кинетическую энергию (Ekmax) маятника. В максимальной точке отклонения маятник имеет только потенциальную энергию, которая равна максимальной кинетической энергии в момент, когда маятник проходит вертикальное положение.
Ekmax = (1/2) * m * Vmax^2,
где m - масса груза.
2. Потенциальная энергия в максимальной точке отклонения (Epmax) может быть выражена через высоту h, которую груз поднимается:
Epmax = m * g * h,
где g = 9,81 м/с^2 - ускорение свободного падения.
3. Высоту h можно найти через длину маятника и угол отклонения:
h = L * (1 - cos(θ)).
4. Подставим значения:
h = 1 * (1 - 0,986) = 1 * 0,014 = 0,014 м.
5. Теперь подставим h в формулу для потенциальной энергии:
Epmax = m * 9,81 * 0,014.
6. В момент максимальной скорости кинетическая энергия равна потенциальной энергии:
(1/2) * m * Vmax^2 = m * g * h.
7. Упрощаем уравнение, так как масса m сокращается:
(1/2) * Vmax^2 = g * h.
8. Теперь найдем скорость V при заданном косинусе угла отклонения, используя закон сохранения механической энергии:
Ek = Epmax - Ep,
где Ep - потенциальная энергия при текущем угле отклонения.
9. Потенциальная энергия при текущем угле:
Ep = m * g * h = m * g * L * (1 - cos(θ)).
10. Подставим h:
Ep = m * 9,81 * 1 * (1 - 0,986) = m * 9,81 * 1 * 0,014 = 0,13734m.
11. Теперь подставим в закон сохранения энергии:
Ek = Ekmax - Ep = (1/2) * m * Vmax^2 - m * g * h.
12. Подставим значение Ek:
(1/2) * m * V^2 = (1/2) * m * (0,8)^2 - 0,13734m.
13. Упрощаем уравнение:
(1/2) * V^2 = (1/2) * (0,64) - 0,13734.
14. Умножаем на 2:
V^2 = 0,64 - 0,27468 = 0,36532.
15. Теперь находим V:
V = √0,36532 ≈ 0,603 м/с.
Ответ: скорость груза в момент, когда косинус угла отклонения маятника равен 0,986, составляет приблизительно 0,603 м/с.