Дано:
- Жесткость пружины k = 1000 Н/м
- Амплитуда колебаний A = 0,02 м
- Фаза ф = π/3
Найти:
- Потенциальную энергию Ep при фазе ф = π/3
- Кинетическую энергию Ek при фазе ф = π/3
Решение:
1. Найдем потенциальную энергию. Потенциальная энергия пружины определяется формулой:
Ep = (1/2) * k * x^2
где x - смещение, которое находим из уравнения х = A * cos(ф).
2. Подставим значения в формулу для смещения:
x = A * cos(ф) = 0,02 * cos(π/3)
Поскольку cos(π/3) = 1/2:
x = 0,02 * (1/2) = 0,01 м
3. Теперь подставим значение x в формулу для потенциальной энергии:
Ep = (1/2) * 1000 * (0,01)^2
Ep = (1/2) * 1000 * 0,0001
Ep = 0,05 Дж
4. Найдем кинетическую энергию. Кинетическая энергия системы определяется как:
Ek = (1/2) * m * v^2
где v - скорость, которую находим через производную от смещения.
5. Сначала найдем скорость v. В гармонических колебаниях скорость выражается как:
v = -A * ω * sin(ф)
где ω - угловая частота, которая определяется как:
ω = sqrt(k/m)
Сначала найдем массу m, используя формулу для периода колебаний:
T = 2π * sqrt(m/k)
Поскольку T не дан, определим массу m через период.
6. Поскольку период колебаний в гармонических колебаниях выражается через жесткость и массу:
T = 2π * sqrt(m/k) => m = (T/(2π))^2 * k
Из этой формулы можно определить массу, но так как T не задан, будем считать m произвольной, чтобы найти v:
7. Подставим ω в формулу скорости:
ω = sqrt(k/m)
Подставляем в выражение для скорости:
v = -A * sqrt(k/m) * sin(ф)
Сейчас подставим известные значения:
v = -0,02 * sqrt(1000/m) * sin(π/3)
Поскольку sin(π/3) = √3/2:
v = -0,02 * sqrt(1000/m) * (√3/2)
8. Теперь можем подставить это значение v в формулу для кинетической энергии:
Ek = (1/2) * m * v^2
v^2 = (0,02^2 * 1000/m * 3/4)
Подставляем в формулу для Ek:
Ek = (1/2) * m * (0,02^2 * 1000/m * 3/4)
Ek = (1/2) * 0,0004 * 1000 * (3/4)
Ek = (1/2) * 0,4 * 3/4
Ek = 0,3/4
Ek = 0,075 Дж
Ответ:
Потенциальная энергия Ep = 0,05 Дж
Кинетическая энергия Ek = 0,075 Дж