Дано:
- Радиус Земли R = 6400 км = 6400000 м
- Ускорение свободного падения на поверхности Земли g0 = 9,81 м/с²
- Высота h = 10 км = 10000 м
Найти: на какую часть следует уменьшить длину математического маятника, чтобы период колебаний маятника на высоте 10 км был равен периоду колебаний на поверхности Земли.
Решение:
1. Период колебаний математического маятника на поверхности Земли рассчитывается по формуле:
T0 = 2 * pi * sqrt(L / g0)
где T0 — период на поверхности Земли, L — длина маятника, g0 — ускорение свободного падения на поверхности Земли.
2. На высоте h ускорение свободного падения g будет определяться формулой:
g = g0 * (R / (R + h))².
Подставим значения:
R + h = 6400000 + 10000 = 6410000 м.
Теперь вычислим (R / (R + h)):
R / (R + h) = 6400000 / 6410000 ≈ 0,999843.
Теперь возведем это в квадрат:
(0,999843)² ≈ 0,999687.
Подставляем это значение в формулу для g:
g ≈ 9,81 * 0,999687 ≈ 9,809 м/с².
3. Теперь найдем период на высоте h. Период на высоте Th будет равен:
Th = 2 * pi * sqrt(L / g).
Период на высоте должен быть равен периоду на поверхности, то есть T0 = Th. Тогда имеем:
2 * pi * sqrt(L / g0) = 2 * pi * sqrt(L' / g).
Упростим:
sqrt(L / g0) = sqrt(L' / g).
Возведем обе части в квадрат:
L / g0 = L' / g.
Теперь выразим L' через L:
L' = L * g / g0.
Подставим значения g и g0:
L' = L * 9,809 / 9,81.
4. Вычислим значение L':
L' ≈ L * 0,999.
5. Чтобы найти, на какую часть следует уменьшить длину маятника, вычислим разницу между L и L':
ΔL = L - L' = L - (L * 0,999) = L * (1 - 0,999) = L * 0,001.
6. Процент уменьшения длины маятника:
Процент уменьшения = (ΔL / L) * 100% = (L * 0,001 / L) * 100% = 0,1%.
Ответ:
Длину математического маятника следует уменьшить на 0,1%.