Дано:
- Частица совершает гармонические колебания.
Найти:
- За какую часть периода частица проходит первую половину пути от среднего положения до крайнего и вторую половину этого пути.
Решение:
1. Рассмотрим путь, который проходит частица в гармонических колебаниях.
2. Пусть амплитуда колебаний равна A. Полный путь от среднего положения до крайнего положения (в одну сторону) равен A. Первая половина пути будет равна A/2, а вторая половина пути также равна A/2.
3. Уравнение для смещения в гармонических колебаниях:
x(t) = A * cos(ωt), где ω - угловая частота.
4. Для первой половины пути:
Необходимо найти время t1, при котором смещение будет равно A/2.
5. Подставляем:
A/2 = A * cos(ωt1)
1/2 = cos(ωt1)
ωt1 = arccos(1/2).
6. Значение arccos(1/2) равно π/3 радиан.
7. Получаем:
ωt1 = π/3
t1 = (π/3) / ω.
8. Период T связан с угловой частотой ω следующим образом:
ω = 2π/T, следовательно:
t1 = (π/3) / (2π/T) = T/6.
9. Таким образом, частица проходит первую половину пути за T/6.
10. Для второй половины пути необходимо рассмотреть путь от A/2 до A.
11. В этом случае:
A = A * cos(ωt2)
1 = cos(ωt2)
ωt2 = 0.
12. Получаем:
t2 = 0 (в момент времени t2 частица достигает крайнего положения).
13. Теперь находим время, за которое частица пройдет от A/2 до A. Временной интервал от T/6 до T/2 (в момент времени, когда частица достигает A).
14. Следовательно, второй половине пути соответствует временной интервал:
t2 - t1 = T/2 - T/6 = (3T/6 - T/6) = 2T/6 = T/3.
Ответ:
Частица проходит первую половину пути за T/6, а вторую половину пути за T/3.