Дано:
- масса шаров m (одинаковая для обоих)
- скорость шаров v (равная по величине)
- угол между их направлениями до удара α
- после удара половина начальной кинетической энергии перешла в тепло.
Найти:
- угол α между векторами скоростей до удара.
Решение:
1. Начальная кинетическая энергия для двух шаров:
E_kin_initial = 2 * (1/2) * m * v² = m * v².
2. После удара, согласно условию задачи, половина кинетической энергии ушла в тепло:
E_kin_final = 1/2 * E_kin_initial = 1/2 * (m * v²) = (1/4) * m * v².
3. Общая кинетическая энергия после удара (с учетом, что она уменьшилась на половину):
E_total_final = E_kin_initial - E_kin_final = m * v² - (1/4) * m * v² = (3/4) * m * v².
4. После неупругого удара два шара слипаются и движутся как одно тело:
Масса системы после удара: M = m + m = 2m.
Скорость системы V можно найти через сохранение импульса. Импульс до удара равен импульсу после удара:
p_initial = p_final.
Импульс до удара:
p_initial = m * v + m * v = 2m * v.
Импульс после удара:
p_final = (2m) * V.
По закону сохранения импульса:
2m * v = 2m * V,
V = v.
5. Теперь найдем кинетическую энергию после удара:
E_kin_final = (1/2) * (2m) * V² = (1/2) * (2m) * v² = m * v².
6. Сравним кинетическую энергию после удара с той, которая была до удара:
E_kin_final = (3/4) * m * v²,
m * v² = (3/4) * m * v² + (1/4) * m * v².
7. Используя закон сохранения энергии и выражая угол между скоростями через векторное сложение:
cos(α) = (v1 * v2) / (|v1| * |v2|).
Поскольку v1 = v2 = v, тогда:
cos(α) = (v * v * cos(α)) / (v²) = cos(α).
8. Учитывая, что изначально у нас есть две скорости, составляющие угол α, мы можем выразить:
1/2 * m * v² * (1 + cos(α)) = (3/4) * m * v².
9. Упрощая, получаем:
1 + cos(α) = 3/2,
cos(α) = 3/2 - 1 = 1/2.
10. Находим угол α:
α = arccos(1/2) = 60°.
Ответ:
Угол между векторами скоростей шаров до удара составляет 60°.