Дано:
Радиус сферы R = 0.5 м (50 см)
Начальная горизонтальная скорость v0 = 2 м/с
Ускорение свободного падения g = 9.81 м/с²
Найти:
Высоту h от вершины сферы, на которой тело оторвется от сферы.
Решение:
1. Находим угловую скорость ω, с которой тело начнет двигаться по сфере. Сначала определим силу тяжести и нормальную силу в точке, где тело начинает покидать сферу.
2. Тело будет находиться в состоянии равновесия (нормальная сила N = 0), когда центростремительное ускорение равно его весу на высоте h.
3. По теореме о движении тела по окружности:
N + mg * cos(α) = m * (v^2 / R)
4. При отрыве от поверхности, N = 0, следовательно:
mg * cos(α) = m * (v^2 / R)
5. Упростим уравнение:
g * cos(α) = v^2 / R
6. Угол α можно выразить через высоту h, используя радиус сферы и высоту:
cos(α) = (R - h) / R
7. Подставляем cos(α) в уравнение:
g * ((R - h) / R) = v^2 / R
8. Умножаем обе стороны на R:
g * (R - h) = v^2
9. Подставляем известные значения:
9.81 * (0.5 - h) = (2^2)
10. Решаем уравнение:
9.81 * (0.5 - h) = 4
0.5 - h = 4 / 9.81
0.5 - h ≈ 0.407
11. Теперь находим h:
h ≈ 0.5 - 0.407
h ≈ 0.093 м
Ответ:
Высота h от вершины сферы, на которой тело оторвется, составляет примерно 0.093 м или 9.3 см.