Дано:
- Угловая скорость ω = 5 рад/с
- Угол между поверхностью конуса и осью симметрии α = 45°
Найти: расстояние от вершины конуса до шарика, обозначим его h.
Решение:
Сначала определим радиус окружности, по которой будет двигаться шарик, на высоте h. Обозначим радиус этой окружности как r.
Для конуса с углом α, связь между высотой h и радиусом r можно выразить через тангенс угла:
tan(α) = r / h.
Так как угол α равен 45°, то tan(45°) = 1. Это приводит к равенству:
r = h.
Теперь вычислим центробежное ускорение, действующее на шарик:
a_c = ω^2 * r.
Поскольку шарик находится в равновесии, суммарные силы (центробежная сила и сила тяжести) должны быть уравновешены. Сила тяжести F_g и центробежная сила F_c направлены в разные стороны:
F_c = m * a_c = m * (ω^2 * r),
F_g = m * g,
где m - масса шарика, a_c - центробежное ускорение, g - ускорение свободного падения, примерно равное 9.81 м/с².
Соотношение сил в состоянии равновесия можно записать так:
F_c = F_g * sin(α).
Подставляем выражения для сил:
m * (ω^2 * r) = m * g * sin(α).
Упрощаем уравнение (m сокращается):
ω^2 * r = g * sin(α).
Подставляем значения:
5^2 * r = 9.81 * sin(45°).
Так как sin(45°) = √2 / 2 ≈ 0.7071, получаем:
25 * r = 9.81 * 0.7071.
Теперь решим уравнение для нахождения r:
r = (9.81 * 0.7071) / 25,
r ≈ 0.277 м.
Теперь помним, что r = h, поэтому:
h = r = 0.277 м.
Ответ: Шарик будет находиться на расстоянии примерно 0.277 м от вершины конуса в состоянии равновесия.