Дано:
m = 200 г = 0,2 кг - масса тела; k = 100 Н/м - жесткость пружины; ν = 2 Гц - частота вращения груза; l0 = 20 см = 0,2 м - начальная длина пружины.
Найти:
Δl - удлинение пружины.
Решение:
Сила натяжения пружины F = kΔl.
Сила натяжения пружины направлена вертикально вверх и уравновешивается силой тяжести, действующей на груз: F = mg.
Груз движется по окружности с центростремительным ускорением a = ω²r, где ω = 2πν - угловая скорость, r - радиус окружности.
Центростремительное ускорение создается силой натяжения пружины, направленной к центру окружности.
Рассмотрим равновесие сил, действующих на груз:
вертикально: F - mg = 0;
горизонтально: F * sin α = ma, где α - угол между силой натяжения и вертикальной осью.
Из первого уравнения находим F = mg.
Из второго уравнения находим sin α = ma / F = ma / mg = a / g.
Радиус окружности r = l0 + Δl, где l0 - начальная длина пружины, Δl - удлинение.
Подставим значения a, r и sin α в уравнение sin α = a / g: sin α = ω²(l0 + Δl) / g.
Из уравнения F = mg и F = kΔl находим: Δl = mg / k.
Подставим выражение для Δl в уравнение sin α: sin α = ω²(l0 + mg / k) / g.
Так как α - малый угол, то sin α ≈ α.
Подставим значения в уравнение α = ω²(l0 + mg / k) / g: α = (2πν)²(l0 + mg / k) / g.
Выразим Δl из уравнения α: Δl = αg / (2πν)² - l0.
Подставим значения: Δl = ((2π * 2)²(0,2 + 0,2 * 10 / 100) / 10) * 10 / (2π * 2)² - 0,2 = 0,04 м.
Ответ:
Удлинение пружины Δl = 4 см.