Дано:
- первоначальная длина пружины (L0) = 20 см = 0.2 м
- удлинение пружины при текущем числе оборотов (ΔL) = 1 см = 0.01 м
Найти: новое удлинение пружины (ΔL_new) при увеличении числа оборотов в 2 раза.
Решение:
1. Центростремительная сила, действующая на шарик, равна силе упругости пружины:
F_c = k * ΔL,
где k - жесткость пружины, а F_c - центростремительная сила.
2. Центростремительное ускорение (a_c), связанное с угловой скоростью (ω) и радиусом (R), можно записать как:
a_c = ω² * R.
3. Угловая скорость (ω) связана с числом оборотов (n):
ω = 2πn.
4. Таким образом, центростремительная сила выражается как:
F_c = m * a_c = m * (ω² * R) = m * ((2πn)² * R).
5. Подставим значение ω в уравнение для силы упругости:
k * ΔL = m * ((2πn)² * R).
6. Если мы увеличиваем число оборотов в 2 раза (n_new = 2n), то новое значение угловой скорости будет:
ω_new = 2 * (2πn) = 2π(2n) = 4πn.
7. Тогда новое центростремительное ускорение будет:
a_c_new = (4πn)² * R = 16π²n² * R.
8. Теперь запишем новое уравнение для силы упругости при новом числе оборотов:
k * ΔL_new = m * (16π²n² * R).
9. Рассмотрим соотношение между новым и старым удлинением пружины:
ΔL_new / ΔL = (16π²n² * R) / (4π²n² * R) = 4.
10. Следовательно:
ΔL_new = 4 * ΔL = 4 * 0.01 м = 0.04 м.
Ответ: новое удлинение пружины составит 0.04 м или 4 см.