Дано:
- деформация пружины при вращении (Δx) = 10% от длины пружины
- частота вращения (f) = 0.5 с^-1
- деформация пружины при подвешивании груза в 2 раза (при весе груза P)
Найти: радиус окружности (R).
Решение:
1. Пусть первоначальная длина пружины (L) перед вращением. Тогда деформация пружины при вращении:
Δx = 0.1 * L.
2. Для определения радиуса окружности будем использовать центростремительное ускорение, которое равно:
a_c = ω² * R,
где ω - угловая скорость, которая связывается с частотой вращения через:
ω = 2πf = 2π * 0.5 = π рад/с.
3. Подставим значение угловой скорости в формулу для центростремительного ускорения:
a_c = (π)² * R = π² * R.
4. Сила, действующая на груз, равна центростремительной силе, в которой участвует сила упругости пружины:
F_s = k * Δx, где k - жесткость пружины, а сила тяжести равна P = m * g.
5. Поскольку груз растягивает пружину в 2 раза при подвешивании, значит:
P = k * (2 * L).
6. Сравнивая обе ситуации, мы можем написать:
k * Δx = m * a_c,
где m = P / g.
7. Подставляя P = k * (2 * L):
k * (0.1 * L) = (k * (2 * L) / g) * (π² * R).
8. Упрощаем уравнение, сократив k и L:
0.1 = (2 / g) * (π² * R).
9. Выразим радиус R:
R = (0.1 * g) / (2 * π²).
10. Подставим значение g ≈ 9.81 м/с²:
R = (0.1 * 9.81) / (2 * π²) ≈ 0.981 / (2 * 9.87) ≈ 0.981 / 19.74 ≈ 0.0497 м.
Ответ: радиус окружности составляет примерно 0.0497 м.