Дано:
- длина нити (L) = 50 см = 0.5 м
- радиус окружности (r) = 30 см = 0.3 м
- ускорение свободного падения (g) ≈ 9.81 м/с²
Найти: во сколько раз увеличится сила натяжения нити.
Решение:
1. Рассмотрим ситуацию, когда шарик подвешен на нити без вращения. В этом случае сила натяжения нити (T1) равна силе тяжести (F_g):
T1 = m * g.
2. Когда шарик раскручивается по горизонтальной окружности радиусом 0.3 м, возникает центростремительное ускорение (a_c). Это ускорение можно выразить через скорость (v) и радиус (r):
a_c = v^2 / r.
3. Для того чтобы удерживать шарик в горизонтальной плоскости, сила натяжения (T2) должна компенсировать не только силу тяжести, но и создавать необходимую центростремительную силу. Силы в вертикальном и горизонтальном направлениях можно записать следующим образом:
В вертикальном направлении:
T2 * cos(θ) = m * g,
В горизонтальном направлении:
T2 * sin(θ) = m * a_c.
Здесь θ - угол между нитью и вертикалью.
4. Нам нужно найти соотношение T2 и T1. Для этого начнем с уравнения для T2:
T2 = m * g / cos(θ)
5. Также мы знаем, что:
tan(θ) = r / (L - r),
где L - длина нити (0.5 м), а r - радиус (0.3 м).
6. Подставим значения:
tan(θ) = 0.3 / (0.5 - 0.3) = 0.3 / 0.2 = 1.5,
θ = arctan(1.5).
7. Теперь можем найти cos(θ):
cos(θ) = 1 / sqrt(1 + tan^2(θ)) = 1 / sqrt(1 + 1.5^2) = 1 / sqrt(3.25) ≈ 0.5547.
8. Подставляя полученное значение cos(θ) в уравнение для T2, получаем:
T2 = m * g / 0.5547.
9. Теперь найдем отношение T2 к T1:
T2 / T1 = (m * g / 0.5547) / (m * g) = 1 / 0.5547 ≈ 1.804.
Ответ: сила натяжения нити увеличится примерно в 1.804 раза.