Дано:
Окружность с центром O и радиусом R (в СИ, метры).
Заданная точка P находится вне окружности.
Найти:
Уравнение касательной к окружности, проходящей через точку P.
Решение:
1. Обозначим координаты центра окружности O как (xO, yO) и координаты точки P как (xP, yP).
2. Для нахождения касательной необходимо провести прямую от точки P до точки касания T на окружности. Прямые OP и PT образуют прямой угол в точке T.
3. Вычислим расстояние d между точкой P и центром окружности O:
d = sqrt((xP - xO)^2 + (yP - yO)^2).
4. Чтобы найти точку касания T, воспользуемся свойством касательной: расстояние от точки P до этой точки будет равно длине радиуса R.
5. Для этого находим расстояние от точки O до точки P и проверяем, что d > R. Если это условие выполняется, можно продолжить.
6. Угол между линией OP и радиусом OT (OT – радиус, проведенный в точку касания T) обозначим как θ. Тогда из треугольника OPT:
sin(θ) = R / d.
7. Найдем угол θ:
θ = arcsin(R / d).
8. Определим координаты точки касания T. Зная угол θ, можно выразить координаты точки T через координаты O, используя тригонометрические функции:
xT = xO + R * (xP - xO) / d,
yT = yO + R * (yP - yO) / d.
9. Теперь вычислим угловой коэффициент k касательной линии, который равен:
k = (yT - yP) / (xT - xP).
10. Уравнение касательной можно записать в виде:
y - yP = k(x - xP).
Ответ:
Уравнение касательной к окружности, проходящей через заданную точку P, может быть выражено как y - yP = k(x - xP), где k = (yT - yP) / (xT - xP), а координаты точки касания T определяются через центр окружности O и радиус R.