Дано:
A(-1; -2), B(3; 4), C(-5; 8).
Найти:
Координаты центра окружности, описанной около треугольника ABC, и уравнение этой окружности.
Решение:
1. Сначала найдем длины сторон треугольника ABC. Длина стороны AB:
d_AB = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)
= sqrt((3 - (-1))^2 + (4 - (-2))^2)
= sqrt((3 + 1)^2 + (4 + 2)^2)
= sqrt(4^2 + 6^2)
= sqrt(16 + 36)
= sqrt(52)
= 2 * sqrt(13).
2. Длина стороны BC:
d_BC = sqrt((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2)
= sqrt((-5 - 3)^2 + (8 - 4)^2)
= sqrt((-8)^2 + (4)^2)
= sqrt(64 + 16)
= sqrt(80)
= 4 * sqrt(5).
3. Длина стороны AC:
d_AC = sqrt((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2)
= sqrt((-5 - (-1))^2 + (8 - (-2))^2)
= sqrt((-4)^2 + (10)^2)
= sqrt(16 + 100)
= sqrt(116)
= 2 * sqrt(29).
4. Теперь найдем координаты центра окружности. Центр описанной окружности можно найти по формуле:
x_O = (a * x_A + b * x_B + c * x_C) / (a + b + c),
y_O = (a * y_A + b * y_B + c * y_C) / (a + b + c),
где a, b и c - длины сторон, противоположных вершинам A, B и C соответственно.
Примем:
a = d_BC = 4 * sqrt(5),
b = d_AC = 2 * sqrt(29),
c = d_AB = 2 * sqrt(13).
5. Подставим значения в формулы для x_O и y_O:
x_O = (4 * sqrt(5) * (-1) + 2 * sqrt(29) * 3 + 2 * sqrt(13) * (-5)) / (4 * sqrt(5) + 2 * sqrt(29) + 2 * sqrt(13)),
y_O = (4 * sqrt(5) * (-2) + 2 * sqrt(29) * 4 + 2 * sqrt(13) * 8) / (4 * sqrt(5) + 2 * sqrt(29) + 2 * sqrt(13)).
После вычислений, получаем:
x_O ≈ ( -4 * sqrt(5) + 6 * sqrt(29) - 10 * sqrt(13) ) / (4 * sqrt(5) + 2 * sqrt(29) + 2 * sqrt(13)),
y_O ≈ ( -8 * sqrt(5) + 8 * sqrt(29) + 16 * sqrt(13) ) / (4 * sqrt(5) + 2 * sqrt(29) + 2 * sqrt(13)).
6. Теперь найдем радиус окружности R, используя расстояние от центра до одной из вершин, например A:
R = sqrt((x_O - x_A)^2 + (y_O - y_A)^2).
7. Уравнение окружности имеет вид:
(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = R^2.
Ответ:
Координаты центра описанной окружности: (x_O, y_O). Уравнение окружности: (x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = R^2.