Дано:
Точки A(x_A; y_A) и B(x_B; y_B).
Найти:
Множество всех точек M(x; y), для которых выполняются равенства:
а) 2AM^2 - BM^2 = 2 * AB^2;
б) AM^2 + BM^2 = 3 * AB^2.
Решение:
1. Для начала запишем выражения для расстояний:
AM^2 = (x - x_A)^2 + (y - y_A)^2,
BM^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2,
AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2.
a) 2AM^2 - BM^2 = 2 * AB^2
Подставим выражения в уравнение:
2((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2) - ((x - x_B)^2 + (y - y_B)^2) = 2((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2).
Раскроем скобки:
2[(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2] - [(x - x_B)^2 + (y - y_B)^2] = 2[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2].
Теперь упростим это уравнение.
Соберем все слагаемые:
2(x - x_A)^2 + 2(y - y_A)^2 - (x - x_B)^2 - (y - y_B)^2 = 2[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2].
Это уравнение представляет собой конус или другую кривую в зависимости от значений A и B.
б) AM^2 + BM^2 = 3 * AB^2
Подставим выражения в уравнение:
((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2) + ((x - x_B)^2 + (y - y_B)^2) = 3((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2).
Раскроем скобки:
(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 = 3[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2].
Соберем и упростим уравнение:
2x^2 - 2xx_A - 2xx_B + (x_A^2 + y_A^2) + (x_B^2 + y_B^2) + 2y^2 - 2yy_A - 2yy_B = 3[(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2].
Это уравнение представляет собой окружность или другую коническую кривую в зависимости от значений A и B.
Ответ:
а) Множество всех точек M, удовлетворяющих уравнению 2AM^2 - BM^2 = 2 * AB^2, представляет собой коническую фигуру (конус или парабола).
б) Множество всех точек M, удовлетворяющих уравнению AM^2 + BM^2 = 3 * AB^2, представляет собой окружность или другую коническую фигуру.