Дано:
ABC - треугольник
BC = 4
AB = 2√19
O - центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника
O лежит на биссектрисе угла C
Найти:
AC
Решение:
Свойства окружности, проходящей через середины сторон треугольника:
Центр этой окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Эта точка совпадает с центром описанной окружности треугольника, образованного серединами сторон исходного треугольника (треугольника середин).
Рассмотрим треугольник середин ABC:
Пусть M - середина AB, N - середина BC, K - середина AC.
Тогда точка O - центр описанной окружности треугольника MNK.
∠MON = 2∠MCN (центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу).
Рассмотрим треугольник BMC:
BM = AM = AB/2 = √19 (медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы).
∠BMC = 2∠BAC (внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов).
Рассмотрим треугольник MNC:
∠MNC = 180° - ∠BMC = 180° - 2∠BAC
∠MCN = ∠BAC (внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов).
∠MON = 2∠MCN = 2∠BAC.
Сравним углы:
∠MON = 2∠BAC
∠MNC = 180° - 2∠BAC
Следовательно, ∠MON + ∠MNC = 180°
Значит, точки M, O, N, C лежат на одной окружности (по теореме о вписанном угле).
Рассмотрим треугольник BOC:
∠BOC = 2∠BAC (центральный угол равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу).
∠BOC = ∠BAC, так как O лежит на биссектрисе угла C.
Найдем ∠BAC:
∠BAC = ∠BOC / 2 = ∠BAC / 2
Следовательно, ∠BAC = 0°
Найдем AC:
∠BAC = 0°, значит, точки A, B, C лежат на одной прямой.
AC = AB + BC = 2√19 + 4 = 2(√19 + 2)
Ответ:
AC = 2(√19 + 2)