Дано:
ABC - треугольник
∠A = 120°
AL - биссектриса угла BAC
BK - биссектриса угла ABC
Доказать:
LK - биссектриса угла CLA
Решение:
Свойства биссектрис:
Биссектриса угла делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Следовательно, в треугольнике ABC:
BL / LC = AB / AC
AK / CK = AB / BC
Рассмотрим треугольник LKC:
Используем свойство биссектрисы:
KL / KC = BL / BC (по свойству биссектрисы угла BLC)
BL / LC = AB / AC (из пункта 1)
AB / BC = AK / CK (из пункта 1)
Подставим полученные равенства:
KL / KC = BL / BC = AB / BC = AK / CK
Следовательно, KL / KC = AK / CK
Из этого равенства следует, что LK - биссектриса угла CLA (по обратному свойству биссектрисы).
Ответ:
Доказано, что LK - биссектриса угла CLA.