Дано:
Треугольник ABC
AC = b
∠ABC = 120°
O - точка пересечения биссектрис треугольника ABC
Окружность проходит через точки O, A, C
Найти:
R - радиус окружности
Решение:
Точка пересечения биссектрис:
Точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности) является центром окружности, вписанной в треугольник.
Рассмотрим треугольник AOC:
∠AOC = 180° - ∠OAC - ∠OCA = 180° - (∠BAC/2) - (∠BCA/2) = 180° - (∠BAC + ∠BCA)/2
∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠ABC = 180° - 120° = 60°
Следовательно, ∠AOC = 180° - 60°/2 = 150°
Вписанная окружность:
Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон треугольника.
Пусть точка K - точка касания вписанной окружности со стороной AC.
Тогда OK - радиус вписанной окружности, и OK ⊥ AC.
∠OKA = ∠OKC = 90°
Рассмотрим треугольник AOK:
∠AOK = ∠AOC / 2 = 150°/2 = 75°
∠OAK = ∠BAC / 2 = (180° - ∠ABC - ∠BCA) / 2 = (180° - 120° - ∠BCA)/2 = (60° - ∠BCA)/2
∠AKO = 90°
Найдем радиус вписанной окружности (OK):
Используем формулу для радиуса вписанной окружности:
r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.
В треугольнике AOC:
S = (1/2) * AC * OK * sin∠AOC = (1/2) * b * OK * sin(150°) = (1/2) * b * OK * (1/2) = b * OK / 4
p = (AO + OC + AC)/2 = (AO + OC + b)/2
Найдем AO и OC:
AO = OC, так как O - центр окружности, описанной вокруг треугольника AOC.
∠OAC = ∠OCA, так как AO = OC.
∠OAC = (60° - ∠BCA)/2 (см. пункт 4).
В треугольнике AOC: ∠AOC = 150°, ∠OAC = ∠OCA = (60° - ∠BCA)/2.
Используя теорему синусов для треугольника AOC:
AO / sin(∠ACO) = AC / sin(∠AOC)
AO = (AC * sin(∠ACO)) / sin(∠AOC) = (b * sin((60° - ∠BCA)/2)) / sin(150°)
Аналогично, OC = (b * sin((60° - ∠BCA)/2)) / sin(150°)
Найдем радиус описанной окружности:
R = AO = OC = (b * sin((60° - ∠BCA)/2)) / sin(150°)
Ответ:
Радиус окружности R = (b * sin((60° - ∠BCA)/2)) / sin(150°)