Дано:
Радиус меньшей окружности r (внутренняя) и радиус большей окружности R (внешняя). Точка касания окружностей обозначена как C. Вершина A треугольника ABC совпадает с точкой C, а точки B и A лежат на окружностях радиусов r и R соответственно.
Найти:
Сторону правильного треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим расстояние между центрами окружностей как d. Поскольку окружности касаются внутренним образом, то d = R - r.
2. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку ABC — правильный треугольник, все его стороны равны, и углы равны 60°.
3. Поскольку A совпадает с точкой касания C, B находится на окружности радиуса r, а C на окружности радиуса R.
4. Для нахождения стороны a правильного треугольника ABC воспользуемся свойством высоты h, проведенной из вершины A к основанию BC. Высота h делит основание BC на две равные части и образует два прямоугольных треугольника.
5. В прямоугольном треугольнике AOB (где O — центр окружности радиуса R):
OA = R,
OC = r,
AB = a.
6. Высота h равна:
h = (sqrt(3)/2) * a.
7. Из аналогии треугольников OAC и ABC, учитывая, что A и C совпадают, получаем следующие уравнения для сторон:
R = OC + h,
r = OC - h.
8. Подставляя значение h из предыдущего шага, имеем:
R = r + (sqrt(3)/2) * a
r = r - (sqrt(3)/2) * a.
9. Решая данную систему, сначала выразим (sqrt(3)/2) * a:
R = r + (sqrt(3)/2) * a
(sqrt(3)/2) * a = R - r.
10. Умножив обе стороны на 2/sqrt(3), найдем сторону a:
a = 2(R - r)/sqrt(3).
Ответ:
Сторона правильного треугольника ABC равна 2(R - r)/sqrt(3).