Окружности радиусов r и R касаются внутренним образом. Найдите сторону правильного треугольника ABC, вершина А которого совпадает С точкой касания окружностей, а вершины В и С лежат на окружностях радиусов r и R соответственно
от

1 Ответ

Дано:
Радиус меньшей окружности r (внутренняя) и радиус большей окружности R (внешняя). Точка касания окружностей обозначена как C. Вершина A треугольника ABC совпадает с точкой C, а точки B и A лежат на окружностях радиусов r и R соответственно.

Найти:
Сторону правильного треугольника ABC.

Решение:

1. Обозначим расстояние между центрами окружностей как d. Поскольку окружности касаются внутренним образом, то d = R - r.

2. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку ABC — правильный треугольник, все его стороны равны, и углы равны 60°.

3. Поскольку A совпадает с точкой касания C, B находится на окружности радиуса r, а C на окружности радиуса R.

4. Для нахождения стороны a правильного треугольника ABC воспользуемся свойством высоты h, проведенной из вершины A к основанию BC. Высота h делит основание BC на две равные части и образует два прямоугольных треугольника.

5. В прямоугольном треугольнике AOB (где O — центр окружности радиуса R):
   OA = R,
   OC = r,
   AB = a.

6. Высота h равна:
   h = (sqrt(3)/2) * a.

7. Из аналогии треугольников OAC и ABC, учитывая, что A и C совпадают, получаем следующие уравнения для сторон:
   R = OC + h,
   r = OC - h.

8. Подставляя значение h из предыдущего шага, имеем:
   R = r + (sqrt(3)/2) * a
   r = r - (sqrt(3)/2) * a.

9. Решая данную систему, сначала выразим (sqrt(3)/2) * a:
   R = r + (sqrt(3)/2) * a
   (sqrt(3)/2) * a = R - r.

10. Умножив обе стороны на 2/sqrt(3), найдем сторону a:
   a = 2(R - r)/sqrt(3).

Ответ:
Сторона правильного треугольника ABC равна 2(R - r)/sqrt(3).
от