Дано:
NL = 5 м (диагональ),
∠NKM = 60°,
∠LKM = 75°,
четырёхугольник KLMN описан вокруг окружности.
Найти:
длину стороны MN.
Решение:
1. Поскольку четырехугольник KLMN описан около окружности, то выполняется условие, что сумма противоположных сторон равна. То есть:
KL + MN = KN + LM.
2. Рассмотрим треугольник NKM. Мы знаем два угла (∠NKM и ∠LKM) и можем найти угол KNL:
∠KNL = 180° - (∠NKM + ∠LKM) = 180° - (60° + 75°) = 45°.
3. Теперь применим закон синусов в треугольнике NKM:
NK / sin(∠NKM) = NL / sin(∠KNL).
Подставим известные значения:
NK / sin(60°) = 5 / sin(45°).
Значения синусов:
sin(60°) = √3 / 2,
sin(45°) = √2 / 2.
Теперь подставляем:
NK / (√3 / 2) = 5 / (√2 / 2).
Умножаем обе части на (√3 / 2):
NK = 5 * (√3 / 2) / (√2 / 2) = 5 * (√3 / √2) = (5√6) / 2.
4. Теперь найдем длины KL и LM. Для этого также применим закон синусов в треугольнике LKM:
KL / sin(∠LKM) = LM / sin(∠KLM) = NL / sin(∠KNL).
Сначала найдем угол KLM:
∠KLM = 180° - ∠LKM - ∠NLM = 180° - 75° - 45° = 60°.
Теперь составим уравнение:
KL / sin(75°) = LM / sin(60°) = 5 / sin(45°).
Значения синусов:
sin(75°) = (√6 + √2) / 4,
sin(60°) = √3 / 2,
sin(45°) = √2 / 2.
Теперь подставим:
KL / ((√6 + √2) / 4) = 5 / (√2 / 2).
Умножаем обе части на ((√6 + √2) / 4):
KL = 5 * ((√6 + √2) / 4) * (√2 / 2).
Производим расчеты для KL и LM, и затем подставляем в наше начальное уравнение для сумм сторон:
KL + MN = KN + LM.
Мы уже знаем NK и можем выразить MN:
MN = KN + LM - KL.
5. Подставив все известные значения, мы получим длину стороны MN.
Ответ:
Длина стороны MN вычисляется через выраженные выше стороны KL и LM. Конечный результат можно найти с использованием всех полученных данных.