В треугольник вписана окружность радиуса 6, которая делит одну из сторон на отрезки, равные 8 и 9. Найдите две другие стороны этого треугольника,
от

1 Ответ

дано:  
Радиус окружности r = 6,  
Длина отрезков на одной из сторон треугольника a = 8 и b = 9.

найти:  
Две другие стороны треугольника c и d.

решение:

1. Пусть сторона, на которой находятся отрезки, обозначается как c. В таком случае ее длина будет:
   c = a + b = 8 + 9 = 17.

2. Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где:
   - a = 17 (сторона, на которой расположены отрезки),
   - b и c - другие стороны треугольника.

3. Для нахождения длин сторон b и c воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:
   r = S / p,
   где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

4. Полупериметр p можно выразить как:
   p = (a + b + c) / 2.

5. Поскольку известен радиус r и одна из сторон c = 17, мы можем выразить сторону b через сторону c:
   Полупериметр будет равен:
   p = (17 + b + c) / 2.

6. Площадь треугольника S можно также выразить через радиус r и полупериметр p:
   S = r * p = 6 * p.

7. Подставим значение полупериметра:
   p = (17 + b + c) / 2.

8. Таким образом, получаем:
   S = 6 * (17 + b + c) / 2 = 3 * (17 + b + c).

9. Теперь у нас есть два уравнения:
   1) S = 3 * (17 + b + c),
   2) S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где a = 17.

10. Однако, в данной задаче сложнее напрямую решить с использованием площади. Можно рассмотреть другие свойства треугольника с учетом отрезков.

11. Известно, что a = (p - x) + (p - y), где x = 8, y = 9 - это расстояния от точки касания окружности до вершин соответствующих сторон.

12. То есть:
   p - 8 + p - 9 = c,
   2p - 17 = c,
   2p = 17 + c.

13. Теперь подставим p в радиус:
   2p = 17 + c = 2 * (17 + b + c) / 2
   Тогда c = 17 + b - 17 = b.

14. Таким образом, используя аналогичные соотношения, можно найти:
   b + c = 34 (так как c = 17) и подставляем в систему уравнений.

15. Найдем оставшиеся стороны b и c:
   b = 15, c = 15.

ответ:  
Две другие стороны треугольника равны 15 и 15.
от