Дано: треугольник ABC, медиана BM. Пусть точки A и C имеют координаты A(x1, y1) и C(x2, y2). Точка B делит сторону AC пополам, следовательно, координаты точки B будут (xB, yB) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
Найти: высоты hA и hC, опущенные из точек A и C на прямую BM, и доказать, что hA = hC.
Решение:
1. Уравнение прямой BM:
Прямая BM проходит через точки B и M. Чтобы найти координаты точки M, нужно определить, где медиана пересекает сторону AC. Так как B - середина AC, то:
M(xM, yM) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).
Уравнение прямой BM можно выразить в виде:
y - yB = k(x - xB), где k - угловой коэффициент.
2. Найдем угловой коэффициент k:
k = (yM - yB) / (xM - xB) = ((y1 + y2)/2 - (y1 + y2)/2) / ((x1 + x2)/2 - (x1 + x2)/2) = 0.
Это означает, что прямая BM является горизонтальной (если бы y координаты были разными, у нас был бы ненулевой угловой коэффициент).
3. Высота hA из точки A:
Высота hA - это перпендикулярное расстояние от точки A до прямой BM. Если BM - горизонтальная прямая, то hA равна разности между y координатой точки A и yB:
hA = yA - yB = y1 - (y1 + y2)/2 = (2y1 - y1 - y2)/2 = (y1 - y2)/2.
4. Высота hC из точки C:
Аналогично, высота hC будет равна разности между y координатой точки C и yB:
hC = yC - yB = y2 - (y1 + y2)/2 = (2y2 - y1 - y2)/2 = (y2 - y1)/2.
5. Сравниваем hA и hC:
hA = (y1 - y2)/2,
hC = (y2 - y1)/2.
Заметим, что hA = -hC, что означает, что их абсолютные значения равны, но могут иметь разные знаки в зависимости от положения точек A и C относительно прямой BM.
Таким образом, высоты hA и hC равны по модулю.
Ответ: высоты, опущенные из точек A и C на прямую BM, равны по модулю.