Question

Найдите площадь сегмента окружности радиуса 4, если центральный угол, соответствующий этому сегменту, ранги:
а)  90°;
б)  120°;
в)  150°.

Answer 1

Дано:
1. Радиус окружности R = 4.
2. Центральный угол α в градусах:
   а) α = 90°;
   б) α = 120°;
   в) α = 150°.

Найти: площадь сегмента окружности.

Решение:

Площадь сегмента окружности можно найти по формуле:

S_сегмент = S_сектора - S_треугольника.

Где S_сектора = (α / 360°) * πR², а S_треугольника = (1/2) * R² * sin(α).

Теперь рассчитаем для каждого случая.

а) α = 90°:

1. Площадь сектора:
   S_сектора = (90 / 360) * π * 4² = (1/4) * π * 16 = 4π.

2. Площадь треугольника:
   S_треугольника = (1/2) * 4² * sin(90°) = (1/2) * 16 * 1 = 8.

3. Площадь сегмента:
   S_сегмент = 4π - 8.

б) α = 120°:

1. Площадь сектора:
   S_сектора = (120 / 360) * π * 4² = (1/3) * π * 16 = (16/3)π.

2. Площадь треугольника:
   S_треугольника = (1/2) * 4² * sin(120°) = (1/2) * 16 * (√3 / 2) = 4√3.

3. Площадь сегмента:
   S_сегмент = (16/3)π - 4√3.

в) α = 150°:

1. Площадь сектора:
   S_сектора = (150 / 360) * π * 4² = (5/12) * π * 16 = (20/3)π.

2. Площадь треугольника:
   S_треугольника = (1/2) * 4² * sin(150°) = (1/2) * 16 * (1/2) = 4.

3. Площадь сегмента:
   S_сегмент = (20/3)π - 4.

Ответ:
а) Площадь сегмента при α = 90° равна 4π - 8.  
б) Площадь сегмента при α = 120° равна (16/3)π - 4√3.  
в) Площадь сегмента при α = 150° равна (20/3)π - 4.