дано:
четырехугольник ABCD, описанный около окружности радиусом r (м),
стороны четырехугольника: a = AB, b = BC, c = CD, d = DA (м).
найти:
площадь S четырехугольника
решение:
Согласно свойству описанного четырехугольника, суммы длин противоположных сторон равны.
a + c = b + d (1)
Полупериметр P четырехугольника определяется как:
P = (a + b + c + d) / 2 (2)
Используя равенство (1), можем записать:
P = (a + b + c + d) / 2 = (a + b + a + b) / 2 = (2a + 2b) / 2 = a + b.
Площадь S описанного четырехугольника связана с радиусом вписанной окружности r и полупериметром P следующим образом:
S = P * r (3)
Теперь подставим выражение для полупериметра из уравнения (2):
S = ((a + b + c + d) / 2) * r.
Заменяя c и d через a и b по уравнению (1):
С учетом a + c = b + d, можно переписать сумму сторон в виде:
P = (a + b + (b + d - a)) / 2 = (2b + 2a - a) / 2 = (a + b) / 2.
Таким образом, мы можем выразить площадь через радиус вписанной окружности и полупериметр, что и доказывает требуемое:
S = P * r.
ответ:
Площадь S описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра P на радиус вписанной окружности r.