а)
дано:
диагональ d = 9 (м),
периметр P = 22 (м)
найти:
площадь S прямоугольника
решение:
Обозначим стороны прямоугольника как a и b. Известно, что:
1. Периметр P = 2(a + b) = 22
Следовательно, a + b = 11 (1)
2. По теореме Пифагора для диагонали:
d^2 = a^2 + b^2
Подставляя значение диагонали:
9^2 = a^2 + b^2
81 = a^2 + b^2 (2)
Теперь мы имеем систему уравнений:
(1) a + b = 11
(2) a^2 + b^2 = 81
Из уравнения (1) выразим b:
b = 11 - a
Подставим b в уравнение (2):
a^2 + (11 - a)^2 = 81
Раскроем скобки:
a^2 + (121 - 22a + a^2) = 81
2a^2 - 22a + 121 - 81 = 0
2a^2 - 22a + 40 = 0
Разделим всё на 2:
a^2 - 11a + 20 = 0
Решим это квадратное уравнение используя формулу:
a = [11 ± sqrt(11^2 - 4 * 1 * 20)] / (2 * 1)
= [11 ± sqrt(121 - 80)] / 2
= [11 ± sqrt(41)] / 2
Таким образом, стороны a и b равны:
a = (11 + sqrt(41)) / 2
b = (11 - sqrt(41)) / 2
Теперь найдем площадь S:
S = a * b = a * (11 - a)
= a * (11 - (11 + sqrt(41))/2) = a * (11/2 - sqrt(41)/2)
Подставим значение a:
S = [(11 + sqrt(41))/2] * [(11 - sqrt(41))/2]
= (121 - 41) / 4 = 80 / 4 = 20 м^2
ответ:
Площадь S = 20 м^2
б)
дано:
диагональ d = c (м),
периметр P = R (м)
найти:
площадь S прямоугольника
решение:
Обозначим стороны прямоугольника как a и b.
1. Периметр P = 2(a + b) = R
Следовательно, a + b = R/2 (1)
2. По теореме Пифагора для диагонали:
d^2 = a^2 + b^2
Подставляя значение диагонали:
c^2 = a^2 + b^2 (2)
Теперь мы имеем систему уравнений:
(1) a + b = R/2
(2) a^2 + b^2 = c^2
Из уравнения (1) выразим b:
b = R/2 - a
Подставим b в уравнение (2):
a^2 + (R/2 - a)^2 = c^2
Раскроем скобки:
a^2 + (R^2/4 - Ra + a^2) = c^2
2a^2 - Ra + R^2/4 - c^2 = 0
Теперь можем использовать дискриминант для решения этого квадратного уравнения:
D = (-R)^2 - 4 * 2 * (R^2/4 - c^2)
= R^2 - 2(R^2 - 4c^2)
= R^2 - 2R^2 + 8c^2 = 8c^2 - R^2
Если D >= 0, то у нас есть два корня, и мы можем вычислить стороны a и b.
После нахождения a и b можно найти площадь:
S = a * b = a * (R/2 - a)
ответ:
Сложность зависит от значений c и R, но формула для площади будет S = a * (R/2 - a), где a и b найдены из уравнений.