Точки А и В лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. Известно, что площади треугольников ACD и BCD равны. Докажите, что АВ и CD параллельны.
от

1 Ответ

дано:
точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. Площади треугольников ACD и BCD равны.  

найти:
доказать, что прямые AB и CD параллельны.

решение:

1. Обозначим высоты от точек A и B до прямой CD как h_A и h_B соответственно.

2. Площадь треугольника ACD можно выразить через основание CD и высоту h_A:
   S(ACD) = (1/2) * CD * h_A.

3. Площадь треугольника BCD можно выразить аналогично:
   S(BCD) = (1/2) * CD * h_B.

4. Так как площади треугольников ACD и BCD равны, то имеем:
   S(ACD) = S(BCD).

5. Подставляя выражения для площадей, получаем:
   (1/2) * CD * h_A = (1/2) * CD * h_B.

6. Упрощая уравнение, мы можем сократить (1/2) * CD, при условии, что CD не равно нулю:
   h_A = h_B.

7. Это означает, что высота от точки A до прямой CD равна высоте от точки B до той же прямой.

8. Следовательно, точки A и B находятся на одной линии, перпендикулярной CD, что свидетельствует о том, что прямая AB параллельна прямой CD.

ответ:
Таким образом, прямая AB и прямая CD являются параллельными.
от