Дано: треугольник ABC, точки M и N на стороне AB такие, что AM = MN = NB.
Найти: площади треугольников ACM, MCN и NCB.
Решение:
1. Обозначим:
- S(ACM) - площадь треугольника ACM.
- S(MCN) - площадь треугольника MCN.
- S(NCB) - площадь треугольника NCB.
2. Пусть AM = MN = NB = x. Тогда AB = AM + MN + NB = x + x + x = 3x.
3. Высота каждого из треугольников ACM, MCN и NCB, проведенная из вершины C к стороне AB, будет одинаковой, так как они находятся на одной и той же высоте от точки C до линии AB.
4. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
S(ACM) = 1/2 * AM * h,
S(MCN) = 1/2 * MN * h,
S(NCB) = 1/2 * NB * h.
5. Подставим значения:
S(ACM) = 1/2 * x * h,
S(MCN) = 1/2 * x * h,
S(NCB) = 1/2 * x * h.
6. Таким образом, получаем:
S(ACM) = S(MCN) = S(NCB).
Это показывает, что площади треугольников ACM, MCN и NCB равны.
Ответ: площади треугольников ACM, MCN и NCB равны.