На стороне АВ треугольника ABC взяли точки М и N так, что отрезки AM, MN и NB равны между собой. Докажите, что треугольники ACM, MCN и NCB имеют равные площади.
от

1 Ответ

Дано: треугольник ABC, точки M и N на стороне AB такие, что AM = MN = NB.

Найти: площади треугольников ACM, MCN и NCB.

Решение:

1. Обозначим:
   - S(ACM) - площадь треугольника ACM.
   - S(MCN) - площадь треугольника MCN.
   - S(NCB) - площадь треугольника NCB.

2. Пусть AM = MN = NB = x. Тогда AB = AM + MN + NB = x + x + x = 3x.

3. Высота каждого из треугольников ACM, MCN и NCB, проведенная из вершины C к стороне AB, будет одинаковой, так как они находятся на одной и той же высоте от точки C до линии AB.

4. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:
   S(ACM) = 1/2 * AM * h,
   S(MCN) = 1/2 * MN * h,
   S(NCB) = 1/2 * NB * h.

5. Подставим значения:
   S(ACM) = 1/2 * x * h,
   S(MCN) = 1/2 * x * h,
   S(NCB) = 1/2 * x * h.

6. Таким образом, получаем:
   S(ACM) = S(MCN) = S(NCB).

Это показывает, что площади треугольников ACM, MCN и NCB равны.

Ответ: площади треугольников ACM, MCN и NCB равны.
от