Четырёхугольник АВСD вписан в окружность, I — центр окружности вписанной в треугольник ABD. Найдите наименьшую длину ВD, если AI= ВС = CD = 2.
от

1 Ответ

дано:  
- AI = 2 (длина отрезка от вершины A до центра окружности I)  
- BC = 2  
- CD = 2  

найти:  
наименьшую длину BD.

решение:  
1. Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, то для него выполняется теорема о вписанных углах. Это также означает, что суммы противолежащих углов равны.

2. В соответствии с условиями задачи у нас есть стороны BC и CD, которые равны 2. Из этого следует, что стороны AB и AD тоже будут иметь определенные соотношения.

3. Обозначим BD как x. Мы будем искать минимальное значение x.

4. Используем теорему о радиусе окружности, проведя линии от центра окружности I до вершин A, B, C и D. Поскольку AI = 2, это означает, что радиус R окружности больше или равен AI.

5. Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике I - центр вписанной окружности. Мы знаем, что расстояние от A до I равно 2.

6. Воспользуемся формулой площади через полупериметр для вычисления отношения сторон. Полупериметр p треугольника ABD равен:
   p = (AB + BD + AD) / 2.

7. Площадь S треугольника ABD также можно выразить через радиус вписанной окружности r (который равен радиусу окружности, описанной около треугольника) и его полупериметр p:
   S = r * p.

8. Радиус r можно приравнять к AI, так как это радиус вписанной окружности, то есть r = 2.

9. Таким образом, мы можем записать:
   S = 2 * ((AB + x + AD) / 2) = (AB + x + AD).

10. Теперь нужно учесть, что из-за свойств четырехугольника ABCD, сумма длин противоположных сторон равна:
    AB + CD = AD + BC.

11. Подставляем известные значения CD и BC:
    AB + 2 = AD + 2.

12. Следовательно, AB = AD. Пусть AB = AD = y.

13. Тогда у нас есть система:
    y + 2 = x + 2,
    y = x.

14. Таким образом, наименьшая длина BD будет равна 2.

ответ:  
BD = 2.
от