дано:
- точка М, через которую проходят две прямые, касающиеся окружности в точках А и В
- радиус ОВ продолжен за точку В на расстоянии равном ОВ, т.е. BC = OB
найти:
доказать, что ∠AMC = ∠BMC
решение:
1. Поскольку AM и BM – касательные к окружности, мы знаем, что угол между касательной и радиусом на точке касания равен 90 градусов. То есть:
∠OMA = 90 градусов и ∠OMB = 90 градусов.
2. Рассмотрим треугольник OMB. Так как OB – радиус окружности, то:
OM перпендикулярно AB (касательные).
3. Поскольку BC = OB, то отрезок BC также является радиусом окружности, который равен OB. Таким образом, OC = OB.
4. Теперь рассмотрим треугольник OMC. Мы имеем два равных отрезка: OB = OC.
5. В треугольнике OMB и OMC:
- OB = OC (радиусы)
- OM – общая сторона.
6. Следовательно, треугольники OMB и OMC равны по стороне и двум прилежащим углам:
∆OMB ≈ ∆OMC.
7. Из равенства треугольников следует, что:
∠AMB = ∠CMC.
8. Углы ∠AMC и ∠BMC образуются из углов ∠AMB и ∠CMC, соответственно.
9. Таким образом, получается, что:
∠AMC = ∠BMC.
ответ:
Углы ∠AMC и ∠BMC равны.