Дано:
- сторона квадрата ABCD равна a (м).
Найти: длину хорды, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой AE.
Решение:
1. В квадрате ABCD вписана окружность радиусом r. Радиус окружности равен половине стороны квадрата, то есть r = a/2.
2. Поскольку окружность касается стороны CD в точке E, координаты точки E можно записать как E(a/2, 0) в системе координат, где A(0, a), B(a, a), C(a, 0) и D(0, 0).
3. Прямая AE проходит через точки A(0, a) и E(a/2, 0). Найдем уравнение прямой AE.
4. Наклон прямой AE:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0 - a) / (a/2 - 0) = -2a/a = -2.
5. Уравнение прямой в общем виде:
y - y1 = k(x - x1) => y - a = -2(x - 0) => y = -2x + a.
6. Теперь найдем точки пересечения этой прямой с окружностью. Уравнение окружности, вписанной в квадрат, имеет вид (x - a/2)^2 + (y - a/2)^2 = (a/2)^2.
7. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:
(x - a/2)^2 + (-2x + a - a/2)^2 = (a/2)^2.
8. Упростим второе слагаемое:
(-2x + a - a/2)^2 = (-2x + a/2)^2 = 4x^2 - 2*2x*a/2 + (a/2)^2 = 4x^2 - 2ax + a^2/4.
9. Теперь подставляем это обратно в уравнение окружности:
(x - a/2)^2 + 4x^2 - 2ax + a^2/4 = a^2/4.
10. Раскроем скобки и упростим:
(x^2 - ax + a^2/4) + 4x^2 - 2ax + a^2/4 = a^2/4.
11. Приведем подобные слагаемые:
5x^2 - 3ax + a^2/2 = a^2/4.
12. Переместим все в одну сторону:
5x^2 - 3ax + a^2/2 - a^2/4 = 0,
5x^2 - 3ax + a^2/4 = 0.
13. Применим формулу для поиска корней квадратного уравнения:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a,
где a = 5, b = -3a, c = a^2/4.
14. Находим дискриминант:
D = (-3a)^2 - 4*5*(a^2/4) = 9a^2 - 5a^2 = 4a^2.
15. Длина хорды L между двумя точками пересечения будет равна:
L = sqrt(D) = sqrt(4a^2) = 2a.
Ответ: длина хорды равна 2a метров.