дано:
радиус окружности r = CD
диаметр окружности AB = 2r
найти:
отношение CD : DA
решение:
Пусть точка D — это точка пересечения секущей AС с окружностью. По свойству касательной и секущей, касательная BC и секущая AC связаны следующим равенством:
BC^2 = AC * AD
Так как BC является касательной, длина отрезка BC равна радиусу окружности (r). Таким образом, имеем:
r^2 = AC * AD
Теперь обозначим AD как x. Тогда можно выразить AC:
AC = x + CD
AC = x + r
Подставляем это значение в уравнение:
r^2 = (x + r) * x
r^2 = x^2 + rx
Приведем все к одному уравнению:
x^2 + rx - r^2 = 0
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы:
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a
где a = 1, b = r, c = -r^2.
Подставим значения в формулу:
x = (-r ± sqrt(r^2 - 4*1*(-r^2))) / (2*1)
x = (-r ± sqrt(r^2 + 4r^2)) / 2
x = (-r ± sqrt(5r^2)) / 2
x = (-r ± r*sqrt(5)) / 2
Таким образом, получаем два возможных значения для x:
x1 = (sqrt(5) - 1)/2 * r
x2 = (-1 - sqrt(5))/2 * r (отрицательное, не подходит)
Значит, x = (sqrt(5) - 1)/2 * r
Теперь находим отношение CD : DA:
Отношение CD : DA = r : ((sqrt(5) - 1)/2 * r)
Упрощаем:
CD : DA = 1 : (sqrt(5) - 1)/2
= 2 : (sqrt(5) - 1)
ответ:
отношение CD : DA = 2 : (sqrt(5) - 1).