Дано:
- Треугольник ABC, сторона BC = a.
- K - точка на стороне AB, M - середина стороны AC.
- ∠ABC = ∠МКB.
Найти:
- Длину отрезка MK.
Решение:
1. Обозначим координаты вершин треугольника:
A(0, 0), B(a, 0), C(x_C, y_C).
2. Найдем координаты точки M. Это середина стороны AC:
M = (0 + x_C) / 2, (0 + y_C) / 2) = (x_C / 2, y_C / 2).
3. Обозначим координаты точки K как K(k_x, k_y), где k_y = 0 (так как K лежит на оси X).
4. Угол ∠ABC равен углу ∠МКB. Используем тангенсы этих углов для выражения соотношений:
tan(∠ABC) = y_C / (x_C - a),
tan(∠МКB) = (y_M - 0) / (x_M - k_x) = (y_C / 2) / (x_C / 2 - k_x).
5. Из условия равенства углов имеем:
y_C / (x_C - a) = (y_C / 2) / (x_C / 2 - k_x).
6. Упростим это уравнение:
2y_C (x_C / 2 - k_x) = y_C (x_C - a).
7. Упростив, получаем:
2(x_C / 2 - k_x) = x_C - a.
8. Упрощаем дальше:
x_C - 2k_x = x_C - a,
2k_x = a,
k_x = a / 2.
9. Теперь найдем длину отрезка MK. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками:
MK = √[(x_M - k_x)² + (y_M - k_y)²].
10. Подставим известные значения:
x_M = x_C / 2, y_M = y_C / 2, k_x = a / 2, k_y = 0:
MK = √[(x_C / 2 - a / 2)² + (y_C / 2 - 0)²],
MK = √[{(x_C - a) / 2}² + (y_C / 2)²].
11. Упростим:
MK = 1/2 * √[(x_C - a)² + y_C²].
Ответ:
MK = 1/2 * √[(x_C - a)² + y_C²].