Дано:
- Трапеция ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD.
- Высота трапеции h равна средней линии L.
Найти:
- Доказать, что трапеция ABCD является равнобокой.
Решение:
1. Обозначим основания трапеции как a (основание AB) и b (основание CD).
2. Средняя линия L выражается через основания:
L = (a + b) / 2.
3. Из условия задачи известно, что высота h равна средней линии:
h = L,
следовательно:
h = (a + b) / 2. (1)
4. В трапеции с перпендикулярными диагоналями AC и BD, если провести перпендикуляры из точек A и B на основание CD, то они будут равны, так как обе диагонали равны по длине.
5. Обозначим высоты, опущенные из точек A и B на основание CD, как h1 и h2 соответственно. Тогда:
h1 = h2 = h.
6. Поскольку высота трапеции равна средней линии, подставляем значение (1):
h = (a + b) / 2. (2)
7. Каждый из отрезков, соединяющий точки D и C, а также точки A и B, имеет одинаковые высоты. Это означает, что основания a и b имеют общее расстояние от пересечения диагоналей до каждой из высот h.
8. Если h1 = h2 и h = (a + b) / 2, это приводит к тому, что расстояния от основания AB до основания CD равны.
9. Таким образом, из условий следует, что стороны AD и BC равны, что доказывает равенство боковых сторон.
10. Следовательно, трапеция ABCD является равнобокой.
Ответ:
Трапеция ABCD является равнобокой, так как высота равна средней линии и диагонали перпендикулярны.