дано:
Сторона ромба ABCD равна 5 (AB = BC = CD = DA = 5 м). Высота CH, опущенная из вершины острого угла C, равна 4 м.
найти:
Длину диагонали AC ромба.
решение:
1. В ромбе ABCD высота CH из вершины C к стороне AB делит сторону AB на две части, образуя прямоугольный треугольник ACH, где AH - основание, а CH - высота.
2. Поскольку CH перпендикулярна AB, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины AC:
AC^2 = AH^2 + CH^2.
3. Для начала найдем длину AH. Поскольку AB является стороной ромба и равна 5, у нас есть:
AH + BH = AB,
AH + BH = 5.
4. Обозначим длину AH как x. Следовательно, BH = 5 - x.
5. В треугольнике ACH мы имеем:
AC^2 = x^2 + 4^2,
AC^2 = x^2 + 16.
6. Теперь рассмотрим треугольник BHC. В этом треугольнике также по теореме Пифагора:
BC^2 = BH^2 + CH^2,
5^2 = (5 - x)^2 + 4^2.
7. Раскроем скобки:
25 = (5 - x)^2 + 16,
25 = (25 - 10x + x^2) + 16.
8. Объединим подобные слагаемые:
25 = 25 - 10x + x^2 + 16,
0 = x^2 - 10x + 16.
9. Переносим все в одну сторону:
x^2 - 10x + 16 = 0.
10. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-10)^2 - 4 * 1 * 16,
D = 100 - 64,
D = 36.
11. Найдем корни уравнения:
x = (10 ± sqrt(36)) / 2,
x = (10 ± 6) / 2,
x1 = 8 / 2 = 4,
x2 = 2 / 2 = 1.
12. Мы получили два значения: AH = 4 или AH = 1. Если AH = 4, то BH = 1 (что допустимо), а если AH = 1, то BH = 4 (также допустимо).
13. Подставляем одно из значений AH в формулу для вычисления длины AC:
AC^2 = AH^2 + CH^2,
AC^2 = 4^2 + 4^2,
AC^2 = 16 + 16,
AC^2 = 32.
14. Найдем длину AC:
AC = sqrt(32),
AC = 4 * sqrt(2).
ответ:
Диагональ AC ромба равна 4 * sqrt(2) м.