дано:
Прямоугольник ABCD, точки F и E — середины сторон AB и BC соответственно.
найти:
Доказать, что угол ∠1 равен углу ∠2.
решение:
1. Обозначим координаты вершин прямоугольника: A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b), где a и b — длины сторон прямоугольника.
2. Поскольку F и E – середины сторон, их координаты будут следующими:
- Координаты точки F (середина AB): F((0 + a)/2, 0) = F(a/2, 0).
- Координаты точки E (середина BC): E(a, (0 + b)/2) = E(a, b/2).
3. Найдем векторы:
- Вектор EF: EF = E - F = (a - a/2, b/2 - 0) = (a/2, b/2).
- Вектор BF: BF = F - B = (a/2 - a, 0 - 0) = (-a/2, 0).
4. Теперь найдем углы ∠1 и ∠2. Углы формируются между отрезками BF и EF, а также между отрезками AE и EF.
5. Чтобы показать, что ∠1 = ∠2, нужно заметить, что угол между двумя векторами равен углу между их проекциями на горизонтальную ось, если они имеют одну и ту же начальную точку.
6. Рассмотрим треугольник BEF и треугольник AEF. Они имеют общий side EF и так как F является серединой AB, эти два треугольника равнобедренные.
7. Соответственно, углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть ∠BEF = ∠AEF.
8. Таким образом, мы имеем:
∠1 = ∠BEF и ∠2 = ∠AEF, следовательно, ∠1 = ∠2.
ответ:
Угол ∠1 равен углу ∠2.